POLİNOMLAR

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:

a0, a1, a2, ....an-1, an  R ve n  N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + .... + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

• an xn, an-1 xn-1, ...., ak xk, ....., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.

• an, an-1, ...., ak, ...., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.

• P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve[P(x)]=n şeklinde gösterilir.

• Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.

• P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

P(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.

• Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir.

Örnek:

P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  N kaç olmalıdır?

Çözüm:

5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün b**enleri olmalıdır.

3’ün b**enleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2  0 den n  2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu

P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4

P(x) = 2x4 + x + 4 dür.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.

der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.

Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek:

P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:

2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6

-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8

x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5

-y5 teriminin derecesi 5

Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

Örnek:

P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise

P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:

P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2

= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.

P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = - 2 bulunur.

P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2

= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

SIFIR POLİNOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,

an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek:

P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.



Çözüm:

P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;

m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;

m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.

SABİT POLİNOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = ... = a1 = 0 ve a0  0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.

0xn + 0xn-1 + ... + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.

x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek:

P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm:

P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma eşit polinomlar denir.

n. dereceden,

A(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ve

B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;

A(x) = B(x)  an = bn, an-1 = bn-1, ... , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.

Örnek:

A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d,

B(x) = (b - 1)x3 – 3x2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

Çözüm:

A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d,

B(x) = (b – 1)x3 - 3x2 – (2c – 3)x + olduğundan;

A(x) = B(x)  5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d =

b = 6, a = -4, c = , d = dir.

POLİNOM FONKSİYONLARI

P : R  R

x  P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

P : R  R

x  P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.

Örnek:

P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm:

I.Yol:



P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1

= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2

P(x-1) = x2 olarak bulunur.



II.Yol:



Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.

P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

Örnek:

P(x) polinomu için,

P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm:

P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde

H = x + 2  h –2 = x’i yerine yazalım.

P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa

P(1) = an + an-1 + ... + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.

P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

Örnek:

P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

Çözüm:

P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.

P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1

= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.

POLINOMLARDA İŞLEMLER

1. Polinomlarda Toplama İşlemi:

A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0

B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0

Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.

A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Örnek:

P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1, Q(x) = 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

Çözüm:

P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + 4

= x3 + 5x2 + (3-3) x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

Polinomlarda Toplama İşleminin Özellikleri:

1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.

2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.

5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

2. Polinomlarda Çıkarma İşlemi:

P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.

P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek:

A(x) = 5x4 + x3 – 3x2 + x + 2 ve

B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.

Çözüm:

B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise, -B(x) = 5x4 - x3 – 2x2 - dir.

A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))

= (5x4 + x3 – 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 –2x2 - )

= (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 - )

= 10x4 – x3 – 5x2 + x - olur.

Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.

Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

3. Polinomlarda Çarpma İşlemi:

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.

anxn ile bkxk teriminin çarpımı

anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.

Yani (5x3) . (-2x4) = 5 . (-2) x3+4 = -10x7

Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek:

A(x) = 3x4 + 1, B(x) = x2 + x

C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.

a) A(x) . B(x)

b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

Çözüm:

a) A(x) . B(x) = (3x4 + 1) . (x2 + x)

= 3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x

= 3x6 + 3x5 + x2 + x



b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)

= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1

= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1

= x4 + x + 1 bulunur.

Polinomlarda Çarpma İşleminin Özellikleri:

1. Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur.

2. Değişme özelliği vardır.

3. Birleşme özelliği vardır.

4. Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.

5. Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.

Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir.

6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)

Polinomlar Halkası

Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R[x] polinomlar kümesi;

1. (R[x],+) sistemi değişmeli gruptur.

2. R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

3. R[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

O halde (R[x], + , . ) sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir.

4. Polinomlarda B**me İşlemi:

A(x) polinomunun B(x) polinomuna b**ümü

A(x) B(x)

 T(x)



.

-___________

R(x)



Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.

Bu b**me işlemi yapılırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir:

1. Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.

2. B**ünen polinomun derecesi b**en polinomun derecesinden büyük olmalıdır.

derB(x) < derA(x)



3. Kalanın derecesi b**enin derecesinden küçük olmalıdır.

derR(x) < derB(x)



4. R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam b**ünüyor denir.

5. derA(x) = derB(x) + derT(x)

der = derA(x) – derB(x) dir.

Örnek:

P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu

Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna b**elim.

x4 – 2x2 + x + 5 x2 + 3x – 1

_____________ = x2

x2- 3x + 8



± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x

-__________________

-3x3 – x2 + x + 5 = 8

±3x3 ± 9x2 ±3x

-_________________

8x2 – 2x + 5

± 8x2 ± 24x ±8

-_________________

- 26x + 13



B**üm : x2 – 3x + 8

Kalan : -26x + 13

Horner Metodu

B**en, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir.

Örnek:

Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya b**elim.

Çözüm:

1. B**ünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.

2. B**ümün derecesi b**ünenin derecesinden küçük olacağı için b**ümde x3’ün katsayısı 0 olur.

3. p katsayısı aşağıya aynen yazılır.

4. a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır. Ap + q olarak yazılır.

Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir.

px3 + qx2 + rx + s, x – a = 0 ise x = a

Örnek:

P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye b**ündüğünde b**üm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz.

Çözüm:

P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim. Ayrıca x –2 = 0  x = 2 ‘yi yerine yazalım.

B**ümün Katsayıları Kalan

-1 0 3 4

2 1 2 2 4 14

1 1 2 7 18



B**ümün Katsayıları Kalan



B**üm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7

Kalan R(x) = 18 bulunur.

B**me İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Bir P(x) Polinomunun “x – a” ile B**ünmesinde Elde Edilen Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile b**ünmesinden elde edilecek b**üm Q(x) ve kalan k olsun. (x – a) birinci dereceden olduğundan, kalan sabit bir sayıdır. P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir. Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0.Q(a) + k  P(a) = k bulunur.

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile b**ünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir. O halde, bir polinomun (x – a) ile b**ünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0  x = a olur.) polinomda x yerine a değeri yazılır.

Örnek:

P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile b**ünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.

Çözüm:

X – 2 = 0  x = 2 dir. Bulacağımız kalan P(2) olacaktır. Öyleyse, P(2) = 22 – 3 . 2 + 21 = 19 olur.

Bir P(x) Polinomunun “ax + b” ile B**ünmesinden Elde Edilen Kalan

B**en birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur. B**en olarak (ax + b) polinomunu alalım. Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k yazılır.

Ax + b = 0  x = olur. Polinomda x yerine yazılırsa P( ) = k bulunur. O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile b**ünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine yazılır.

Örnek:

P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile b**ünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm:

P ( ) = - 4. + 1 = - 2 + 1 = olur.

Bir P(x) Polinomunun “x2 + a”, “x3 + a”, “x4 + a” ile B**ünmesinden Elde Edilen Kalan

P(x) polinomunun x2 + a ile b**ünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x3 + a ile b**ünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır.

P(x) polinomunun x4 + a ile b**ünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır.

Örnek:

P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile b**ünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm:

İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0  x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız.

P(x) = x2 . x2 – x2 . x + x2 + 7x – 1 olur.

Kalan : (-2) ( -2) – (-2) . x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur.

Bir Polinomun (x – a).(x – b) ile B**ünmesinden Elde Edilen B**üm ve Kalan

Bir P(x) polinomunun (x – a) . (x – b) ile b**ünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz. Verilen P(x) polinomu önce (x – a) ile b**ünür, sonra elde edilen b**üm (x – b) ile b**ünür.

Örnek:

Bir P(x) polinomunun (x + 3).(x – 2) ile b**ünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm:

(x + 3).(x – 2) polinomu 2. dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1. derecedendir. Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir. B**üm özdeşliği yazılırsa,

P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur.

P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor.

P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) . B (-3) –3a +b  P(-3) = -3a + b

P(2) = (2 + 3) (2 – 2) . B(2) + 2a +b  P(2) = 2a +b olur.

-3a + b = -5

2a + b = 4

denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur. Buradan, K(x) = x + bulunur.

Örnek:

Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile b**ünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile b**ünmesinden kalanı bulunuz.

Çözüm:

Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır. P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır. Burada, P(1) = 7 veriliyor. Diğer taraftan kalan, en fazla 2. dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur. B**menin özdeşliği yazılırsa;

P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur. Polinomda,

x = 1 için P(19 = (1 + 2) . (1 – 1) . B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve

x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur.

bx + c – 2a = -2x + 6  b = -2 ve c-2a = 6 olur. Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den

a – 2 + c = 7  a + c = 9 dur.

c - 2a = 6

a + c = 9

Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur. Öyleyse, K(x) = x2 – 2x + 8 olur.